Ningú posa en dubte la importància del nombre Pi a les matemàtiques. Aquest nombre irracional que representa la raó entre el perímetre d’un cercle i el seu diametre ja es coneixia des de fa milenis (amb algun error d’aproximació).
Però per què és important en el món de la robòtica?
Quan treballem amb robots que tenen rodes circulars, estem treballant amb el nombre Pi encara que no ens n’adonem. En particular, amb els robots de Lego, una de les instruccions que donem als motors perquè es moguin és així:
Aquesta instrucció ens permet configurar la potència de cada motor canviant els valors en groc, per defecte el motor girarà una rotació, tot i que es pot configurar perquè en faci més o menys.
Reflexionant sobre el moviment del robot, podem arribar a una primera conclusió, i és que per tal de saber quan avançarà és important calcular el radi de la roda.
En el nostre robot d’exemple el diàmetre de la roda és de 5,5cm i el radi la meitat, 2,75 cm.
Quan donem potència als motors, aquests faran girar els motors i en conseqüencia el robot es mourà. Si suposem que no hi ha lliscament, la distància que avançarà el robot serà el perímetre de la roda. En el nostre cas P=2*Π*r=2*Π*2,75=17.27cm.
Mirem si es compleix:
Per tant a partir d’ara ja podem fer avançar al robot exactament el que nosaltres vulguem. Aquí és un bon moment per reflexionar i intentar generalitzar el què hem après fins ara. Intuitivament i sense fer cap càlcul, sabries dir què passa si posem rodes més grans? I rodes més petites?
I ara la pregunta estrella: Com es mourà el robot si posem una roda gran i una altre petita (mantenint la mateixa potència als dos motors)?
Aquest problema de plantejament senzill pot esdevenir força complicat de calcular. La resposta intuitiva i correcta és que com una roda avançarà més que l’altre el robot girarà. Per entendre com gira el robot ens podem plantejar la importància de la mida i la seva relació amb les rotacions.
Si considerem un robot amb rodes la meitat que l’original, però les fem rodar el doble de rotacions el robot es mourà igual que l’original.Això és degut a què: 2Πr = 2Π (r/2)*2
O sigui es manté constant la distància moguda (Perímetre * Rotacions).
Per tant com a resposta de la nostra pregunta estrella podem estudiar què passa quan donem potències diferents a cada motor, enlloc de canviar les mides de les rodes, ja que hem vist que hi ha una equivalència.
Anem a veure què passa amb això de canviar les potències! Igual que amb les barques de rem, si els dos motors no van a la mateixa potencia el robot girarà.
Abans de començar hem d’entendre que per caracteritzar un gir necessitem el centre de rotació i l’angle. A continuació analitzarem dues situacions:
- Posant la potència d’un dels motors a 0.
Per exemple, si deixem la potència d’un dels motors a 0, llavors el robot (suposant que no llisqui) deixarà fixada aquella roda i només avançarà l’altra. En aquest cas tot el moviment no servirà per desplaçar el robot, sinó per girar-lo.Per tant el centre de gir serà aquesta roda. El moviment de l’altre roda descriurà un arc de circumferència de radi la distància entre rodes. I ara només cal determinar l’angle de rotació. En una frase ens hem de plantejar “Quina part de la circumferència gran representa la distància que avancem”. Traduit matemàticament, hem de calcular el perímetre de la roda petita, el perímetre de la trajectòria gran i aplicar proporcionalitats. Si fer tota la trajectòria correspon a un gir de 360º, llavors recorrer només una part correspondrà a xº.I aquí és on si no fem els càlculs per separat (cada perímetre) el valor de Pi no és imprescindible, ja que el fer la relació entre els perímetres aquesta constant es pot simplificar.
Seguint amb el nostre robot exemple, necessitem mesurar la distància entre les rodes (ja que és el radi de la trajectoria).
Podem veure que la distància entre les rodes és aproximadament 18cm. Llavors el robot girarà: 2.75/18 de cercle, el què és en angles: 360*2.75/18=55º. Podem veure el resultat:
- Posant potències oposades a cada motor.
Això produirà un gir sobre el propi eix entre les rodes (en el punt del mig). Deixem al lector pensar com justificar-ho utilitzant la simetria de la situació. Per tant, podem considerar que aquest punt serà el nostre centre de gir. O sigui que el radi de rotació passarà a ser la meitat de la distància entre les rodes, i per tant l’angle que girarà serà el doble que en el cas anterior! Us deixem aquí l’últim dels videos!
I per acabar la pregunta que qualsevol eXplorium s’hauria de plantejar: Quins reptes més puc fer a partir d’aquí? Com podem acabar de generalitzar-ho (no només en aquests dos casos particulars)?
Escriu les teves respostes en els comentaris i ampliarem l’article amb el millor repte!