Els cucs Fibonacci!


Aquesta és una activitat que inicialment estava pensada com a pràctica productiva per primària, però l’hem volgut portar a secundària per poder treballar continguts d’aquesta etapa.

Proposem el següent repte:

A la següent sèrie de cinc boles, cada nombre, a partir del tercer, s’obté sumant els dos nombres anteriors.  

Triem els dos primers nombres perquè l’últim sigui un 100.

La primera estratègia que utilitzen els alumnes per resoldre aquest repte és provar parelles de nombres, i després comencen a provar estratègies d’assaig-error.

Això els genera la necessitat de fer moltes proves d’anar combinant els dos nombres inicials,  calculant-ne les sumes fins arribar a l’últim nombre i així poder comprovar si aquest darrer és un 100 o no.

En el cas que no els doni 100, cosa que ocorre la majoria de casos, modifiquen mínimament els dos nombres inicials per anar-s’hi acostant.

 

La primera solució que poden trobar és:

(20)·(20)·(40)·(60)·(100)

I per tant, ja li hem de donar importància a les condicions inicials del problema, ja que molts alumnes es pregunten si s’hi val repetir nombres o si es poden posar desordenats, que no siguin creixents. Com que a l’enunciat no diu res, ho acceptem, és clar!

Fins aquí, hem complert l’objectiu inicial de pràctica productiva de la suma, però volem anar més enllà!

Per introduir una altra estratègia que no sigui la d’anar provant es planteja la següent pregunta:

  • Si suposem que el cuc està resolt i que, per tant, hi ha un 100 a la cinquena bola, quins dos nombres hi podria haver a la tercera i quarta bola?

De seguida ens adonem que en aquestes dues boles hi ha d’haver dos nombres que sumats donin 100. A partir de la col·locació d’aquests dos nombres, per exemple 30 i 40, veiem que una altra estratègia és construir el cuc a l’inrevés. Així aprenem l’estratègia del problema invers!

Una vegada assoleixen aquesta estratègia, veuen que és molt més fàcil construir solucions, però els genera preguntes com:

  • Es poden fer servir negatius? El primer nombre sempre ha de ser més gran que el segon?

Com que el problema no té restriccions, veuen que realment el problema en té més d’una i de dues solucions, tot i que encara no en saben determinar quantes. Repartim els cucs per poder penjar diverses solucions a la paret i ens adonem que podem construir moltes solucions.

  

I si provem a fer la generalització del problema?

Plantegem que el primer nombre és una ‘x’ i el segon nombre una ‘y’ i ens adonem que el cuc general és:

Imposem que 2x+3y = 100 i descobrim que la generalització d’aquest problema s’expressa mitjançant una equació de primer grau de dues incògnites.

  • Quantes solucions té aquest problema?

Si aïllem una variable i l’expressem respecte de l’altra podem trobar parelles de valors molt fàcilment! Aquí tenim els exemples de x=47 i x=60, com a primers nombres.

En tornar a fer la pregunta: quantes solucions té aquest problema? La resposta és unànime:

El problema té infinites solucions!!!

Cadascú en troba una (amb nombres positius, negatius, fraccionaris), a continuació representem els punts al GeoGebra i descobrim que tots els punts es poden representar sobre una recta!

 

A partir d’aquí ens preguntem si hi ha alguna manera de representar totes les solucions…

Surt la proposta de representar la funció sencera en comptes dels punts que havíem representat.

Les dues opcions són:

y=(100-3x)/2 

x=(100-2y)/3

com es mostra a la figura següent, però acordem que triem primer el primer nombre i que el segon ens vindrà ja donat, millor que fer-ho al revés.

Llavors, ens adonem que estem representant les infinites solucions on tot s’hi val, que els nombres poden ser R (reals), però…

i si tornem al terreny dels nombres naturals? Llavors podríem trobar totes les solucions?

Veiem que sí i que geomètricament és com anar marcant els punts de la recta verda que passen per sobre de les interseccions de la graella de fons. Aquí ens ajudar en @jfontgon (Jordi Font) que amb unes seqüències al GeoGebra ens ho genera com es pot veure a la següent imatge.

 

I amb aquesta representació es veu clarament que si, a més a més, volem que les caselles del cuc estiguin endreçades en ordre ascendent, ens hem de quedar només amb les solucions que estan per sobre de la recta y=x.

És tot plegat una activitat molt completa amb què podem introduir les equacions de primer grau amb dues incògnites. A partir d’un repte que aparentment sembla molt simple, podem abordar continguts curriculars de 3r i 4t d’ESO.

Hi haurà una segona part?