Experiència: Diagrames de Voronoi amb m&m’s!


Us proposem una idea d’activitat experimental que funciona molt bé a l’aula. Es tracta de treballar conceptes geomètrics com són la mediatriu, el circumcentre i els diagrames de Voronoi amb caramels m&m’s.

Per fer aquesta activitat només necessiteu uns quants plats de plàstic, una mica d’aigua i uns quants caramels m&m’s.

Comencem pel cas més senzill. Què passarà quan posem un caramel al plat amb aigua?

Sorgeixen diverses hipòtesis a l’aula. Uns parlen de física i comenten la flotabilitat, altres es centren en la química i parlen de dissolucions. Efectivament, el colorant del caramel es dissol a l’aigua. El que ens interessa si volem treure’n suc matemàtic, però, és la forma geomètrica d’aquest colorant dissolt.

Quan el caramel està sol al plat, pot expandir el colorant al seu voltant però: i si hi posem dos caramels? Què passarà?

Els alumnes discuteixen i fan noves hipòtesis. El principal debat és sobre si es barrejaran els colorants dels dos caramels o bé hi haurà una frontera entre ells. I quan apareix el concepte de frontera, de seguida podem abordar-ne la vessant matemàtica. A continuació us mostrem un petit fragment d’una sessió:

Professor: Com creieu que serà aquesta frontera?

Alumna: Recta!

P: Si, per exemple, dibuixo un plat i en aquestes creus (vermella i verda) hi posem els caramels, on situarem aquesta frontera recta?

A: Aquí. (surt a dibuixar-la en blau sobre el dibuix del professor)

P: I aquest punt (blau) d’on està més a prop?

A: D’aquest (vermell), serà vermell.

P: I aquest punt (creu blava), d’on està més a prop?

A: Aquest està igual de prop dels dos!

P: Assenyala’m un altre punt que estigui a la mateixa distància dels dos caramels.

A: Qualsevol d’aquests! (assenyala la recta)

 

 

Ells mateixos ho han deduït! A partir d’aquí és ben còmode introduir el concepte de mediatriu de dos punts com el lloc geomètric de tots els punts que equidisten d’aquestos dos punts.

I, sobretot, hem de deixar que comprovin experimentalment les hipòtesis formulades.

Fins i tot resulta interessant plantejar-los el problema invers (donada la mediatriu, on estarien els caramels?) i reflexionar sobre la propietat de simetria.

I què passaria si, enlloc de dos, hi posem tres caramels? O encara millor: com col·loquem els tres caramels al plat per tal d’obtenir tres zones iguals?

De nou s’obre el debat i es deixa espai per conjecturar i experimentar. La forma del plat és rellevant? Es poden aconseguir tres zones iguals en tots els plats?

  

Tard o d’hora apareix la idea del circumcentre com a extensió de la mediatriu però per a tres punts. I donats tres punts, sempre existirà el circumcentre?

Per acabar, podem generalitzar tot això per a més de tres punts? Apareixen, doncs, els diagrames de Voronoi. Els alumnes, amb tot el que han après, han de fer hipòtesis sobre el que creuen que succeirà amb diferents distribucions de caramels i, després, comprovar-les.

I si encara tenen més ganes d’experimentar i resoldre preguntes, deixeu-los que provin i creïn els seus propis diagrames de Voronoi.

Esperem que en gaudiu! Si us animeu a portar a terme aquesta activitat, sobretot feu-ne fotos: estarem encantats que les compartiu amb nosaltres!

Una versió més extensa d’aquest post s’ha enviat en format d’article a una revista de divulgació. Quan en tinguem més notícies, us les expliquem!